Đạo hàm phụ thuộc vào giới hạn (lim) của độ bé đủ nhỏ của số gia hàm số, tức là số gia không triệt để bằng 0. Vì vậy, khi xét số gia hữu hạn nhưng rất nhỏ, giá trị đạo hàm có thể khác nhau. Đây là một trong những lý do khiến phương trình vi phân mô tả chuyển động của con lắc kép có thể cho nhiều nghiệm khác nhau khi phụ thuộc vào cận số gia đủ nhỏ hữu hạn.
Nếu nhân số gia siêu nhỏ đó với một hệ số rất lớn để phóng chiếu thành một đại lượng có thể đo được, sau đó chia đại lượng này thành các phần đếm được tương ứng với từng quỹ đạo nghiệm, rồi co rút các phần đó trở lại thành một phần rất nhỏ của số gia ban đầu trước khi đưa vào giới hạn để tính đạo hàm và tìm nghiệm tương ứng theo tỷ lệ phần trăm của hệ số phóng chiếu, thì bài toán phức hợp có thể được đơn giản hóa đáng kể.
Khi đó, việc phân tích các nghiệm sẽ giống như đếm số lá trên một cái cây, chỉ cần dựa vào tỷ lệ phân nhánh của cành cây. Theo cách nhìn này, việc mô phỏng hiện thực sẽ trở nên gần như hoàn hảo.
Nếu toàn bộ quá trình được đồng bộ theo thời gian thực, có thể hình dung tương tự như việc phóng chiếu một phần vô cùng nhỏ của một giây thông qua góc phóng chiếu cực đại của tia laser chiếu lên một chiếc gương mini gắn trên kim giây của đồng hồ.
Nếu ta phát triển hệ số phóng chiếu như một đại lượng ứng với tỷ lệ vàng φ, thì ta có thể đồng bộ hóa quỹ đạo nghiệm của con lắc kép cùng toàn bộ các dạng bài toán hỗn độn (chaos). Khi ấy, những quỹ đạo tưởng chừng ngẫu nhiên sẽ dần bộc lộ một cấu trúc hài hòa, nơi toán học và tự nhiên gặp nhau trong một vẻ đẹp gần như hoàn mỹ.
Nếu tồn tại một quy luật tự đồng dạng hoặc một bất biến thống kê qua các phép phóng chiếu, ta có thể mô tả hành vi dài hạn của hệ bằng các đại lượng thống kê thay vì bằng từng quỹ đạo riêng.
Quỹ đạo hỗn độn 2D trong 1 khoảng thời gian luôn quét ra hình dạng kín giống chiếc lá, siêu việt và đặc trưng. Chỉ cần ngoại suy chiếc lá này toàn bộ hệ thống hỗn loạn như 1 khu rừng sẽ lộ rõ một cách biểu kiến
