Bài toán này tml nào học Xác suất thống kê ở Đại học/Cao đẳng, biết về luật Bayes thì chỉ cần áp công thức máy móc vào là cũng sẽ tính ra là xác suất "phần thưởng ở cửa m không chọn lúc ban đầu, biết rằng quản trò mở cửa kia" là cao hơn. Kết quả đúng là như vậy nhưng người bình thường, với trực giác thông thường khó mà chấp nhận được. Bí quyết là m phải từ bỏ cách suy luận thô cứng tam đoạn luận kiểu cũ, "Socrate là phàm nhân, phàm nhân sẽ phải chết, suy ra Socrate sẽ phải chết", dung hạp lối tư duy cập nhật niềm tin Bayes kiểu mới. Logic Boolean nó đúng nhưng không hữu ích ở mọi trường hợp trong cuộc sống, ví dụ, tuy trời mưa thì đường sẽ ướt không thể nói rằng đường ướt suy ra hôm qua trời mưa, vì nhỡ có thằng nào đó đổ nước ra đường sao cho giống hệt trời mưa thì sao? Thậm chí xét theo logic boolean đến cả "mưa thì đường ướt" còn chẳng phải là mệnh đề vì nó không hằng đúng cũng không hằng sai (nhỡ chính phủ có một cái vòm trời thích tắt thì tắt thích bật thì bật, để dù có những lúc trời mưa mà không giọt nào chạm đất thì sao?). Rõ ràng những giả định đó, dù nghe có viễn tưởng như thế nào cũng có thể xảy ra, nhưng với trực giác về xác suất, ta biết rằng nó "ÍT KHẢ NĂNG" xảy ra. Do đó, ta đúc kết được rằng đường ướt, dù không thể suy ra là trời mưa, nhưng đường ướt thì khả năng trời mưa nhiều hơn là không. Nếu trong logic Boolean thì chỉ nhưng thứ hằng đúng hoặc hằng sai mới được xét đến, những sự việc không chắc chắn không được xét đến, thì trong xác suất, mọi sự việc xảy ra đều có thể cung cấp thêm thông tin cho người quan sát, để họ điều chỉnh niềm tin.
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh toàn hình thức một tí. Giả sử m chọn cửa A, quản trò mở cửa B. Ký hiệu @A, @B, @C là các sự kiện A, B, C có phần thưởng (trong tiếng Anh thì @ là at, ý là reward is at door A, B, C ấy mà), B là sự kiện quản trò mở cửa B. P(B | @A) = 1/2 (do mày chọn đúng phải cửa có phần thưởng, quản trọ sẽ chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa để mở) . P(B | @B) = 0, dĩ nhiên. P(B | @C) = 1 (do quản trò không thể mở cửa mà m chọn, cùng không thể mở cửa có phần thưởng). Theo luật Bayes, (cập nhật niềm tin là ở chỗ này đây, ban đầu P(@A) = P(@B) = P(@C) = 1/3 nhưng cùng xem thế cục thay đổi như thế nào khi m biết thêm thông tin là quản trò mở cửa B) P(@A | B) ~ P(@A)*P(B | @A) = 1/3 * 1/2 = 1/6. P(@C | B) ~ P(@C) * P(B | @C) = 1/3 * 1 = 1/3. Vậy P(@ C | B) > P(@A | B). M có thể code Python mô phỏng ngẫu nhiên và chạy nhiều lần xem có thật là chơi càng nhiều lần thì tỷ lệ thắng của m nếu đổi cửa càng gần 2/3 hay không . Với thể thức trò chơi như vậy, m đã được nhận thông tin có giá trị một cách miễn phí!
Quay lại với vấn đề mâu thuẫn trực giác, bằng nhiều năm sống ở thực tại này m biết rằng trời vừa mưa thì nhiều khả năng là đường ướt chứ chẳng có thuyết âm mưa nào về việc vòm trời che mưa hay thứ gì đó tương tự nên bằng việc quan sát đương ướt m có thêm thông tin về thời tiết. Nhớ rằng, trong logic có "A suy ra B" (mà không phải A tương đương B) và B thì cũng chẳng luận được gì chắc chắn về A (ví dụ cụ thể: con mèo lành lặn thì có 4 chân, m có một con vật 4 chân, t chẳng thể nói được rằng đó là một con mèo lành lặn) nhưng với luật Bayes, có P(B|A) và P(B) thì sẽ có thể cập nhật từ P(A) thành P(A | B). Tương tự như vậy, bằng việc biết về cách chọn cửa mở của quản trò, đó là những P(B | @A), P(B | @B) và P(B | @C) mà m có thể tính được P(@ A | B), P(@ B | B), P(@C | B). Giống như đi ra đường thấy đường ướt, hỏi vừa có cơn mưa à?, thế thôi.
