trong trường hữu hạn ℤ₂ = {0, 1} với phép cộng modulo 2, ta có 1 + 1 = 0 và số 2 cũng đồng dư với 0 (2 ≡ 0 mod 2). Do đó, 1 + 1 = 2 vẫn hoàn toàn đúng trong ℤ₂ (vì 0 = 0), khiến mệnh đề giả định 1 + 1 ≠ 2 trở thành mệnh đề sai ngay trong chính hệ quy chiếu đó.
Lời giải:
Viết lại phát biểu dưới dạng một mệnh đề phức hợp kéo theo trong logic toán học nếu A thì B (A ==> B)
Mệnh đề A (tiền đề): 1+1 =/= 2 trong trường hữu hạn ℤ₂
Mệnh đề B (hệ quả): Mặt Trời mọc ở hướng Bắc
Trong trường hữu hạn ℤ₂ = {0, 1} phần tử 2 không tồn tại phép cộng đc định nghĩa là 1+1 ≡ 0 (mod 2)
Vì 0=/=2, phát biểu toán học 1+1 =/= 2 là hoàn toàn chính xác về mặt sự thật trong hệ thống này.
=> Mệnh đề A nhận giá trị là
đúng (1)
Đặt trường hợp tôn trọng một cách nghiêm ngặt thực tế vật lý khách quan và vật lý thiên văn. Sự tự quay của hành tinh Trái Đất quy định rằng Mặt Trời luôn luôn mọc ở hướng Đông, khiến cho việc nó mọc ở hướng Bắc là bất khả thi về mặt vật lý.
=> Mệnh đề B nhận giá trị là
sai (0)
Trong đại số Boole của ℤ₂, hàm kéo theo f(A,B) = A ==> B chuyển đổi sang đa thức A*B + A + 1 (mod 2)
Thay các giá trị A=1 và B=0 ta đc giá trị = (1*0) + 1 + 1 = 0 + 2 = 2 ≡ 0 (mod 2)
Như vậy, khẳng định này là
sai về mặt cấu trúc đại số ℤ₂